CALCUL ET REALISATION DU LONGERON

Présentation

Ce serait plutôt dans mon cas 'réalisation puis calcul du longeron'. En effet j'ai d'abord réalisé mon longeron en bénéficiant des conseils de nombreux modélistes, puis tout dernièrement j'ai commencé à décoder les arcanes de la résistance des matériaux, ce qui me permet aujourd'hui de vous proposer quelques calculs sur ce sujet.

Le principe de mon longeron est illustré sur le dessin suivant:

La réalisation de longerons carbone a déjà été décrite sur le web, par Jacques, Olivier, Philippe, Alain... et il existe aussi de nombreuses descriptions chez nos voisins Allemands et surtout sur des sites US. Voici donc ma contribution à l'expérience collective avec quelques nouveautés que vous découvrirez plus loin!

Avant de continuer plus loin, quelques remarques et précisions:

Le principe d'un longeron est de relier mécaniquement deux semelles Intrados et Extrados. Suivant les techniques utilisées, le résultat final sera soit une poutre fermée, pleine (comme dans mon cas) ou creuse, soit une structure en I.
Plus la distance séparant les deux semelles est importante, plus le longeron est solide et rigide.( à épaisseur de semelle équivalente). Il est ainsi beaucoup moins facile de faire un longeron béton pour un F3F que pour une grosse trapanelle (On s'en doutait un peu!)
Une fois sous charge, une semelle du longeron va travailler en traction pure, l'autre en compression et toute la partie qui constitue le liant entre les deux semelles en cisaillement.

La méthode que je vous propose permet de dimensionner une semelle en traction uniquement, nous verrons que la seule présence d'une chaussette constituant les flancs suffit pour donner en cisaillement un coefficient de sécurité énorme! Pour la semelle travaillant en compression, hé bien, c'est à vous de voir!
Cette méthode comporte des imprécisions et des raccourcis que je commenterais, elle contient aussi certainement des erreurs et là je compte sur tous! Ceci dit, elle donne des résultats tout à fait en conformité avec d'autres méthodes issues du monde modéliste et surtout de la construction amateur.

Calculs

Merci de lire entièrement ce chapitre avant de se jeter sur la feuille de calcul et de conclure qu'elle est incompréhensible ou pire ...

Document joint: feuille de calcul Excel: determination_longeron

Il faut commencer par saisir la géométrie de l'aile. J'ai prévu 4 trapèzes. Si l'aile à étudier comporte un seul trapèze, je conseille de la découper afin de pouvoir affiner le calcul (Ceci permet de faire un zoom sur la boîte à clés d'aile par exemple) . Ne pas oublier de renseigner la largeur du fuselage qui permet de calculer l'envergure totale.

Ensuite saisir les données de masse (estimations!), le constituant des semelles et des flancs ne sert pas pour le calcul, par contre il est très important de renseigner exactement l'épaisseur d'une couche. Ainsi un ruban UD de carbone 170g/m² fait 3/10 d'épaisseur (une fois stratifié) et une chaussette carbone 300g en fait 5/10. En fonction de ces matériaux, se servir des commentaires pour renseigner les différents paramètres spécifiques à la RdM, attention de faire la distinction entre de l'unidirectionnel et un tissage!

Il reste ensuite à saisir les Cz minimum et maximum du planeur ainsi que la vitesse de rafale maximale admissible. Tous ces paramètres servent à déterminer le nombre de g avec lequel sera calculé le longeron. Le principe est le suivant: le planeur vole à vitesse maximum (donc Cz min) et le pilote donne un grand coup de profondeur (planeur perdu de vue...) et manque de bol à ce même instant le planeur subir une rafale verticale de n m/sec (gradient de vent: thermique, cisaillement) Ainsi à ces valeurs correspondent deux facteurs de charge, le calcul se fait en prenant tout, mais il est possible de minimiser un des paramètres du calcul. Dans la réalité, on ne fait pas du tout comme ceci: lorsque l'on calcule un longeron pour un avion léger (ULM) le cahier des charges doit répondre à un ensemble de normes très détaillé fixant entre autres les limites structurales en vol stabilisé, sous ressource, à l'atterrissage ainsi que le facteur de sécurité à rajouter ou plutôt multiplier au calcul... Typiquement un résultat final tourne entre -3 / +6g.

Le dernier champ du tableau en saisie définit l'épaisseur de revêtement. il permet d'en déduire la hauteur maximale du longeron (en fonction de l'épaisseur relative du profil). Les calculs qui suivent considèrent donc que le longeron est placé à l'épaisseur maximale du profil, et ce sur toute l'envergure. Ceci n'est pas toujours ce qui est souhaité, c'est pourquoi il est toujours possible de remplacer manuellement dans le tableau de droite les valeurs du champ 'hauteur de longeron' . Dans la même idée, on peut envisager une largeur dégressive, à réserver au rois du moulage, et ainsi dans ce cas renseigner le champ 'largeurs des semelles'

Dans le tableau de gauche viennent donc ensuite deux petites constantes classiques qui permettent juste de rajouter un peu de visibilité dans les calculs. Enfin, si vous voulez faire du DS sur Vénus, il faudra changer ces valeurs.

Plus bas, après quelques résultats tout simples, on tombe sur la charge totale sur l'aile (en Newton, pour avoir des kgs, diviser par 10!) Ensuite je propose un moment maximal qui doit correspondre à une charge rectangulaire sur l'aile, ce qui n'est généralement pas notre cas. J'utilise en fait une répartition de charge parabolique et comme cette formule donne un moment maximal plus faible que le précédent, j'utilise un petit facteur correctif! Cette manière de procéder peut paraître assez cavalière, elle l'est! Mais un calcul détaillé demande de considérer précisément la répartition de portance sur l'aile, d'en sortir la charge linéique en fonction de l'envergure et aussi de prendre en compte la répartition des masses de l'aile en fonction de l'envergure (mais oui!) Je suis allé dans ce sens et me suis rendu compte que la feuille de calcul devenait bien plus lourde pour une valeur ajoutée assez marginale: les formules simplifiées tombent juste à 10% pour considérer ce qui se passe à l'emplanture, ce qui est le plus important!

Dans le tableau de droite, on calcule donc les moments de flexion en chaque point de l'envergure, les efforts tranchants et en fonction de la hauteur du longeron les efforts normaux. Ces forces permettent directement de dimensionner les sections des semelles ou des flancs en fonction des contraintes à la ruptures des matériaux choisis. Et finalement il est très facile d'en déduire les épaisseurs tant recherchées. Le résultat final se présente donc sous forme de nombres, de couches de ruban UD pour les semelles ou de chaussettes pour les flancs, à mettre en oeuvre. Libre à chacun d'arrondir dans le sens ou il veut!

La partie finale du tableau permet de faire la démarche inverse: à partir des caractéristiques géométrique d'un longeron donné, il permet de vérifier s'il est bien dimensionné: un facteur de sécurité inférieur à 1 indique que le résultat final est au dessous de l'optimum calculé, un facteur de 2 indique qu'il est deux fois plus solide!

Voilà pour l'utilisation de cette feuille, j'espère sincèrement qu'elle vous aidera!

Remarques

Voici quelques idées pour aller un peu plus loin dans l'utilisation de ce document.

Les calculs donnent des volumes de renfort finalement assez faibles (par rapport à ce que j'imaginais !) Il faut bien voir que nos modèles sont très peu chargés au m² par rapport à un vrai planeur ou ULM (les différences sont d'un facteur 5 à 10 !) De même la vitesse maximale de nos modèles (35m /sec pour mon Foka) est assez faible: un vrai planeur de performances peut voler à 78 m/sec.
Il apparaît très clairement que nos longerons sont surdimensionnés au saumon pour les contraintes de flexion. Ce qui n'apparaît pas dans le calcul mais qu'il faut garder à l'esprit avant d'alléger à outrance ce secteur, c'est que nos ailes subissent bien d'autres contraintes mécaniques au moment du transport, du montage... et de plus un longeron allégé va certainement donner une flèche énorme des saumons sous charge avec un risque réel de délaminage du coffrage.
Si l'on regarde uniquement les caractéristiques du verre par rapport en carbone en traction pure, (cf. annexe) son comportement est quasi identique! Par contre son module d'élasticité est trois fois moindre. Donc à condition d'en mettre trois fois plus, on peut parfaitement constituer un longeron tout en verre, ce qui peut être intéressant au niveau prix de revient.
Par contre, je ne pense pas que ce soit une bonne idée de remplacer le carbone par du Kevlar: si celui ci présente les meilleures caractéristiques en traction, son comportement très médiocre en compression l'élimine à mon avis pour cette utilisation. En effet je rappelle que 50% du longeron réalisé va travailler en compression.
Tous les éléments de mon longeron ont été déterminés avant de disposer de cette méthode numérique (ce sont les valeurs citées dans ce document) et sont correctes. Donc un grand merci aux modélistes qui m'ont permis de dimensionner ce longeron aussi bien (en particulier Patrice Langlois qui m'a montré en détail le moulage du longeron de son fabuleux Nimbus 3D de 6m20!)

Annexes

Voici un tableau représentant les principales propriétés physiques de quelques matériaux utilisés en modélisme ou en construction avion amateur.

	Matériaux	Masse vol	Module d'élasticité longitudinal	Module cisaillement	Cont. de rupt. traction	Cont. de rupt. Compression	Cont. de rupt. Cisaillement
		en kg / mmm	E en Mpa	G en Mpa	en Mpa	en Mpa	en Mpa
METAUX	aciers	7800	205000	79000	400 à 1600
	aluminium AU4G	2800	75000	29000	450
	titane TA 6V	4400	105000	40300	1200
	cuivre	8800	125000	48000	200 à 500
	nickel	8900	220000		500 à 850
	beryllium	1840	294000		200
	silice	2200	95500
RENFORTS nus	verre R hautes performances	2500	86000		3200
	verre E applications courantes	2600	74000	30000	2500
	kevlar 49	1450	130000	12000	2900
	carbone HR haute résistance	1750	230000	50000	3200
	carbone HM haut module	1800	390000	20000	2500
	bore	2600	400000		3400
	alumine	3700	380000		1400
	silicate d'alumine	2600	200000		3000
	carbure de silicium	3450	450000		3000
	polyéthylène	960	100000		3000
RESINES	époxy Ciba LY 5082/5083	1200	3050	1600	59	97
	phénolique	1300	3000	1100	70
	polyester	1200	4000	1400	80
	polycarbonate	1200	2400		60
	vinylester	1150	3300		75
	silicone	1100	2200		35
	uréthane	1100	700 à 7000		30
	polyamide	1400	4000 à 19000	1100	70
60% fibre en volume	UD verre	2080	45000	4500	1250	600	63
	UD kevlar	1350	85000	2100	1410	280	45
	UD carbone	1530	134000	4200	1270	1130	63
	tissu équilibré verre 50% Vf	1900	20000	2850	400	390
	tissu équilibré kevlar 50% Vf	1330	22000		500	170	150
	tissu équilibré carbone 45% Vf	1450	54000	4000	420	360	55
AMES	balsa	150	3000	100 à 250	8 à 18
	CtP	550	8000
	samba
	mousse de polyuréthane	30 à 70	25 à 60	20
	mousse de polystyrène	30 à 45	20 à 30	10	0,25 à 1,25

Réalisation d'un longeron moulé

Donc vous avez vos calculs en poche, à savoir vous savez combien de couches de carbone vont être utilisées sur le longeron.

La première étape consiste à choisir le système de clé d'ailes. Personnellement j'utilise depuis très longtemps du jonc pultrudé de carbone que l'on peut trouver chez Weber ou Polyplan par exemple. Ceci détermine déjà la largeur minimale du bidule! Mon longeron est en 4 parties:

les parties centrales, de 2110 mm comportant au centre deux clés d'aile principales en jonc de 12 mm dans un fourreau au dièdre et aux extrémités une petite boite de raccord avec une clé de 10mm. Comme j'avais pas mal de place, j'ai inclus dans cette partie un tube alu de 9mm qui me sert à passer tous les câbles électriques.

les extrémités avec là aussi un raccord en 10mm, ces parties sont beaucoup plus simples

La seconde étape est le calcul des dimensions du noyau du longeron: ce sont les dimensions externes du longeron fini moins les épaisseurs de fibre que l'on va rajouter.

Les quantités de fibre utilisées sont les suivantes:

Emplanture			Séparation 1/2 ailes		Saumon
UD Carbone 170g/m²	-------------	----------------	----------------------------------	------------------	-------------- 3000 mm
UD Carbone 170g/m²	-------------	----------------	----------------------------------	------------------	-- 2500 mm
UD Carbone 170g/m²	-------------	----------------	----------------------------------	----- 1500 mm
Tresse Carbone 300 g/m²	=========	===========	=======================	============	========= 3000 mm
Tresse Carbone 300 g/m²	=========	====600 mm

On obtient ainsi le tableau de dimensionnement suivant:

pièce	Emplanture	Fin boite à clés	intermédiaire	Raccord	Saumon
Corde	426	404	310	230	140
Position Y	0	250	1230	2110	2990
épaisseur %	13.6	13.6	13.6	11.0	11.0
épaisseur profil	58	55	42	25	15
Section ext. Longeron	55 * 15	52 * 15	39 * 15	22 * 15	12 * 15
Section noyau	51 * 13	48 * 13	37 * 14	20 * 14	10 * 14

La dernière ligne du tableau donne les valeurs à conserver. Une remarque en passant: la largeur du noyau côté emplanture (13mm) est moindre que côté saumon (14 mm); ceci vient du fait qu'il y a plus de carbone vers l'emplanture.

J'ai moulé mes boites de clés d 'ailes dans des petits moules réalisés en contreplaqué, les fourreaux de clés sont des tubes laiton de diamètre 12 ou 10 mm intérieur. Le tube alu pour le passage des câbles est en 9 mm.

Le moule de la boite centrale est en V très aplati. il fait 500 mm de large. Les tubes sont mis en place et fixés avec des entretoises en carton fort et puis le tout est rempli de micro ballon le plus sec possible. A la réflexion, ceci est trop solide et trop lourd, on doit pouvoir inclure des parties en balsa pour alléger le tout. Une fois sec, le V est coupé en deux dans son milieu et donne ainsi les deux boites de clés d'aile avec le dièdre intégré!

Pour les rallonges, le principe est le même mais il n'y a pas de dièdre.

Les parties intermédiaires entre les boites de clés d'ailes sont découpées en roofmate. Il ne faut pas chercher à ébarber ces découpes et surtout ne pas arrondir les angles!

Ensuite les morceaux sont collés bout à bout avec une larme d'époxy rapide.

Une fois à ce stade, il faut réaliser le moule du longeron lui même. Différentes techniques sont possibles (bois ou métal). ce qui est impératif, c'est :

de respecter les cotes...
de pouvoir serrer le moule (compression des fibres et essorage de la résine)
qu'il soit bien rigide sinon ou va mouler une banane

J'ai pour ma part réalisé une caisse autoporteuse en mélaminé, la largeur finie du longeron (15mm, ce qui n'est pas un hasard) est donnée par des profilés aciers en U. Tous les 20 cm sont prévus des écrous et boulons de 10 pour la mise en presse. Comme cette pièce était mon premier gros moulage et que je voulais être sûr de pouvoir démouler. j'ai tout recouvert de scotch marron avant de cirer. Ceci est finalement inutile et donne un état de surface légèrement gaufré (accentué par les photos en lumière rasante.)

Ce moule est fermé en deux temps: d'abord les flancs sont vissés, puis on ferme le couvercle!

Le moule permet de sortir un demi longeron complet (partie centrale plus rallonge) donc il faut s'en servir deux fois pour disposer de toutes les pièces. A l'usage le mélaminé supporte mal les contraintes de la mise en pression, il serait plus judicieux d'utiliser du médium

La stratification du longeron est simple: c'est même la récompense! J'ai procédé ainsi:

préparation de la résine avec un ratio de 140 g d'époxy pour 100 g de carbone, le 'dosage' est différent du verre.
avec un pinceau, déposer une semelle UD dans le moule, l'imprégner, passer à la suivante...
sur un plan de travail, enfiler la chaussette sur le noyau et ensuite l'imprégner au pinceau
mettre en place le noyau et sa chaussette dans le moule
imprégner les constituants de la seconde semelle
fermer le tout et serrer!
mes longerons ont été étuvés 30 h à 45 °C.
le démoulage ne pose aucun problèmes! Juste un coup de cale à poncer pour déglacer le tout et nettoyer les angles.

Le résultat est étonnant de rigidité et de légèreté! C'est à la vue de ces pièces que Guy a illico démarré la conception d'un ASW22 de 7m50...

Voici le poids réalisé des différents constituants:

2 clés d'ailes principales jonc carbone 12mm, longueur 660 mm: 228g

2 clés d'ailes secondaires jonc carbone 10 mm, longueur 160 mm: 45 g

2 longerons principaux, longueur 2110 mm: 960 g

2 longerons secondaires, longueur 880 mm: 187 g

donc un poids total de 1420 g , à ceci il faut rajouter 200g pour le câblage complet ( 6 prises servos, 2 prises sub D9, 3*10 m de câble torsadé)

Finalement, mouler un longeron est très facile et même assez rapide. Ce qui m'a pris beaucoup de temps, c'est dans la validation du mode opératoire (qui est simple une fois décrit mais vous n'imaginez pas le nombre de scénarios que j'ai monté) ainsi que la conception du moule lui même.

Je pense q'un modéliste voulant envisager une petite série de longerons devra réaliser un moule en métal.

Bon, revenons au Foka! Il est bien beau ce longeron, mais tout seul il ne risque pas de voler! La suite sera la construction des ailes, mais laissez moi un peu de temps car le modéliste est épuisé, et de plus n'a plus de résine! Une petite photo cependant pour illustrer la suite.

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