Centrage et stabilité d'un planeur

A travers cet article, je vais essayer de vous faire découvrir l'aspect théorique du centrage et de la stabilité longitudinale d'un planeur. Pour éviter les trop longues formules mathématiques et les intégrales, je me limiterai à l'étude d'un planeur à aile rectangulaire et profil constant, en vol stabilisé. Les amateurs de complexité pourront directement me contacter.

1 - Les forces en présence, notations :

Un planeur en vol est soumis à plusieurs forces :

Son poids (P = m.g), dirigé vers le sol et appliqué au centre de gravité G du planeur.
La portance de l'aile, notée Fz_a, dirigée perpendiculairement à la vitesse.
La traînée de l'aile, notée Fx_a, dirigée en sens inverse de la vitesse.
La portance du stabilisateur, notée Fz_s.
La traînée du stabilisateur, notée Fx_s.
A ces forces s'ajoute un moment (couple) sur l'aile, noté M_a, qui dépend de la forme du profil.
Les forces de portance et de traînée sont considérées comme appliquées au ¼ avant de la corde de l'aile ou du stabilisateur, selon le cas.

Autres données importantes :

La vitesse de vol : V
La corde de l'aile : C
La surface de l'aile : S_a
La surface du stabilisateur : S_s
Le bras de levier du stabilisateur : b (distance entre le ¼ avant de la corde de l'aile et le ¼ avant de la corde du stabilisateur).
La distance entre le bord d'attaque de l'aile et le centre de gravité, notée l_g

- du poids P
- de la portance de l'aile Fz_a et du stabilisateur Fz_s.
- du moment M_a.

3 - Equilibre du planeur :

Les lois de la mécanique nous disent que pour que notre planeur reste en équilibre, les différentes forces doivent s'annuler, et les moments de ces forces doivent s'équilibrer.

Pour les forces, on obtient :

P = Fz_a + Fz_s (équation 1)

Poids : M_p = P x (l_g - C/4)
Fz_a : M_Fza = - Fz_a x 0 = 0
Fz_s : M_Fzs = - Fz_s x b (signe - car tendance à faire piquer)

Et on n'oublie pas le moment de l'aile M_a, qui est normalement < 0 (tendance à faire piquer le planeur).

On a donc l'équation :

M_p + M_Fza + M_Fzs + M_a = 0 , soit :

P x (l_g - C/4) = F_zs x b - M_a (équation 2)

4 - Optimisation du planeur :

On cherche à diminuer la traînée parasite du stabilisateur. Pour un planeur radio-commandé classique, avec un profil plat ou symétrique, ceci est obtenu en le calant «à zéro», c'est à dire de manière à ce que sa portance soit nulle. On a donc :

Fz_s = 0

On reporte cette valeur dans les équation 1 et 2 :

(1) : P = Fz_a c'est donc l'aile qui supporte le planeur (quelle découverte !)
(2) : P x (l_g - C/4) = - M_a de plus P = Fz_a, on a donc :
Fz_a x (l_g - C/4) = - M_a , soit :
l_g = C/4 - M_a/Fz_a = 0,25 x C - M_a/Fz_a
l_g = 0,25 x C - M_a/Fz_a (équation 3)

5 - Coefficients aérodynamiques :

Fz_a et M_a peuvent se déterminer à l'aide de coefficients. on a :
Fz_a = ½ x r x S_a x C_z x V²
M_a = ½ x r x S_a x C x C_m x V²
r est la masse volumique de l'air (1,22 kg/m³)
C_z est appelé le coefficient de portance (en général < 1,2)
C_m est appelé le coefficient de moment (de - 0,1 pour les profils très creux à + 0,05 pour les profils autostables). Ce coefficient est presque constant pour un profil donné.

L'équation (3) nous donne :

l_g = 0,25 x C - C x C_m/C_z que l'on peut écrire :

l_g/C = 0,25 - C_m/C_z

Cette formule nous donne le centrage du planeur en proportion de la corde de l'aile.
Le profil étant choisi (donc C_m connu), on peut choisir C_z faible pour un planeur optimisé pour la vitesse, ou le C_z de finesse maximale, ou encore le C_z de vitesse de chute mini (on peut déduire ces valeurs de la polaire du profil, c'est à dire de sa courbe caractéristique portance/traînée), ou bien encore un compromis...
Le C_z d'optimisation étant choisi, il reste encore à caler l'aile de manière à ce que le stabilisateur étant à 0°, l'aile présente le C_z voulu. Ce calage est lu lui aussi sur la polaire du profil.

6 - Exemple :

Un planeur équipé d'un profil Eppler 205 (C_m = -0,046) destiné au vol «classique» (C_z = 0,4) sera centré à :

l_g/C = 0,25 - (-0,046)/0,4 = 0,365 = 36,5 %

De même, une aile volante avec un profil Eppler 186 (Cm=+0,05) optimisée pour un Cz de 0,6 serait centrée à :

l_g/C = 0,25 - (+ 0,05)/0,6 = 0,1667 = 16,7 % de la corde.

Dans un prochain article, je vous parlerai de stabilité, du calcul de la limite arrière de centrage, ou de tout autre thème que vous souhaiteriez que j'aborde (centrage d'un canard, d'un planeur à stabilisateur porteur...).

1 ) Il est idiot d'optimiser un profil très creux pour le vol rapide.
2 ) Ainsi centré, le planeur est équilibré, mais il n'est pas stable. (Essayez de faire tenir votre planeur verticalement en équilibre sur le nez, vous pouvez trouver une position d'équilibre, mais elle ne sera pas stable).

1 - Qu'est ce que la stabilité.

La stabilité caractérise la propriété qu'a un système de revenir à sa position d'équilibre après en avoir été écarté.
Exemple : un pilote au bar de l'aéro-club est stable : après s'en être éloigné pour effectuer un vol, il revient de lui même trouver sa place devant une bière bien fraiche.
Mécaniquement, on dira que lorsque qu'on écarte le planeur de son incidence d'équilibre, les moments des forces en présence le ramènent vers cet équilibre. On pourra aussi écrire que le moment exercé par ces forces devra être de signe inverse à celui de la perturbation : si le planeur cabre, le moment devra le faire piquer.
Mathématiquement, on exprime cette propriété sous forme de dérivée et on écrira que la dérivée du moment par rapport à l'incidence doit être négative, et on note ceci :

Et oui, les mathématiques, ça sert aussi à faire voler les planeurs... Mais peut être l'aviez vous déjà remarqué dans le premier article...

2 - Retour sur les coefficients aérodynamiques.

Dans le premier article, je vous ai parlé des coefficients aérodynamiques, en particulier :

C_m : coefficient de moment
C_za : coefficient de portance de l'aile
C_zs : coefficient de portance du stabilisateur

Nous avons aussi fait l'hypothèse que Cm était constant.
Les coefficients de portance sont sensiblement proportionnels à l'incidence du profil, ceci dans la limite du décrochage.
Un profil est de plus caractérisé par un angle de portance nul noté a₀ A l'incidence i, son Cz peut donc s'écrire sous la forme :

Cz = k . (i - a₀)

C_za = k_a . ( i + a - a₀)

C_zs = k_s . i

C_zs = k_s . (i - e)

e = k_e . C_za

3 - Equation du moment en tangage.

On reprend les notations du premier article :

C : corde de l'aile
S_a, S_s : surfaces de l'aile et du stab
b : bras de levier du stabilisateur
l_g : position du centre de gravité G

On exprime la somme des moments de chaque force au centre de gravité :

M_t(G)=M_a + ( l_g - 0,25 x C) x F_za - (b - l_g + 0,25 x C) x F_zs
M_t(G)=1/2 .r.V².[S_a.C.C_m + (l_g-0,25.C).S_a.C_za - (b-l_g+0,25.C).S_s.C_zs]
M_t(G)=1/2 .r.V².[S_a.C.C_m + (l_g-0,25.C).S_a.k_a.(i+a-a₀) - (b-l_g+0,25.C).S_s.k_s.i]

Si vous voulez, je peux faire intervenir l'angle de déflexion... Non, c'était pour rire.

L'équation de base étant écrite, il faut la dériver par rapport à l'incidence...